При подключении сети (для зарядки), у него горит зеленая лампочка, как если бы он был полностью заряжен, при этом напряжение на аккумуляторе 12в. При подаче напряжения 5 вольт вместо аккумулятора, фонарь горит очень хорошо. На аккумуляторе написано: ACCU4V3AH , Напряжение в буферном режиме 4,8-5в, Напряжение в циклическом режиме 4,5-4,8в, Макс. ток заряда 0,9А.
Фонарь такой: данные и картинка
Это обрыв в аккумуляторе? Как это проверить?

Да похоже обрыв.
Напряжение 12 вольт на клеммах аккумулятора при зарядке свидетельствует об этом. Это напряжение холостого хода зарядного. Если бы аккумулятор брал зарядный ток то напряжение на нем не превышало бы те-же 4.8В.
Для пущей уверенности можно в режиме зарядки проверить ток, включив амперметр в разрыв любого провода идущего на клеммы аккума. У оборванного ток близок к 0.

А можно ли отремонтировать аккумулятор (понятия не имею где его купить), вскрыть его, соединить там обрыв, снова загерметизировать?

А почему бы не попробовать... Мне удалось реанимировать аккум от смарта с внутренним обрывом (лепесток аккума отвалился от платы контроллера)

Обычный кислотный герметичный аккумулятор
Электролит, дистиллированная вода, герметик после ремонта дороже встанут.
Купить можно в электротоварах, интернет-магазинах, и магазинах игрушек.
Поиск Яндекс дал тысячи предложений.

Вскрытие аккумулятора показало, что внутри совершенно сухо, ну и проводники свинцовые сломаны в двух местах. Можно ли заменить этот аккумулятор (или встроить в него) аккумуляторами АА, так, чтобы подошло к этой новой батарее зарядное устройство, которое имеется в фонаре?
p.s. В корпус аккумулятора легко помещается 6 батареек АА, и даже 8 помещаются, с легким усилием. Правда, их тоже покупать нужно и они тоже недешевы.

Не подойдут ли эти аккумуляторы (3 штуки параллельно) под зарядное устройство в фонаре?
Mark Capacity:3000mAh ( Real Capacity :1200mAh)
напряжение: 3.7 В
Напряжение немного отличается, но ведь не на много?

Это литий ионные аккумуляторы. Очень капризны к перезарядам и глубоким разрядам, а так же к повышенной температуре.
Нарушение любого из параметров приводит к быстрой негодности аккума, в худшем случае возможен даже взрыв и возгорание.
Алгоритм зарядки упрощенно выглядит так - зарядка стабильным током и с растущим напряжением, затем дозарядка с стабильным напряжением.

1) В Вашем фонарике это требование скорее всего зарядником не выполняется. В большинстве простеньких китайских фонариках с свинцовыми аккумуляторами - цепь зарядки состоит из балластного конденсатора, да диодного мостика. Даже если и выполняется то алгоритм "заточен" под свинцовые батареи. (Кстати, фото внутренностей фонаря выложили бы..)

2) В тех аккумуляторах что приведены на ссылке, нет информации о том защищены они или нет. (Судя по цене - нет!)
Защита представляет из себя миниатюрную схемку встроенную в аккумулятор. Она защищает аккумулятор от перезаряда, глубокого разряда и контролирует температуру, при превышении параметров отрубает аккум

ИМХО лучше воспользуйтесь советом Shura_with_KINEF и поищите свинцово-кислотный аккум, они совсем не дефицит.