Интересная задача о заряде конденсатора Опции

[Гость_Сергей_*]

Если кто силен в расчете переходных процессов, подскажите, пожалуйста(можете дать ссылку), как рассчитать процесс заряда конденсатора при отключении катушки индуктивности . Схема такая:
"+"источника постоянного напряжения ->ключ->индуктивность->"-"источника постоянного напряжения. Параллельно индуктивности подключен через диод(катодом на L)конденсатор. Такая схема применяется в импульных преобразователях. Интересует любая информация по расчету такой схемы(влияние стального магнитопровода, зависимость от вида корней характеристического уравнения(действительные или комплексные) и т.д. К сожалению, давно не занимался теоретической электротехникой....

[Tchernishev]

Ну тогда вперёд. Я из схемы диод выбросил, и сделал допущение: катушка без ферромагнитного сердечника, то есть насыщения не происходит. В цепь исскуственно введём в ветвь, содержащую конденсатор резистор, иначе не будет выполнен закон коммутации. Пусть это будет сопротивление открытого диода на прямой ветви ВАХ. Оно порядка R2 = 5 Ом (пусть будет так).
Идея такая. Рассматриваем схему:
Индуктивность L = 0.2 Гн, R1(активное сопротивление катушки) = 10 Ом
C = 10 мкФ
Источник ЭДС E=100 В
До коммутации:
ток через катушку:
Il(0-) = 0
напряжение на ёмкости:
Uc(0-) = 0

После коммутации:

принужденный ток (установившийся):
Ilпр = E/Rl = 100/10 = 10 А
принужденное напряжение на конденсаторе:
Ucпр = Rl*Il = 10*10 = 100 В (здесь не возникает других падений напряжения, т.к. постоянный ток через конденсатор не протекает).

Законы коммутации: ток через индуктивность не может меняться скачком, напряжение не ёмкости тоже скачком не меняется.

Отсюда находим начальные занчения свободных токов.

Ilсв(0+) + Ilпр = Il(0+) = Il(0-), тогда Ilсв(0+) = Il(0-) - Ilпр,
Ilсв(0+) = 0 - 10 = -10 А

Ucсв(0+) + Ucпр = Uc(0+) = Uc(0-), тогда Ucсв(0+) = Uc(0-) - Ucпр,
Ucсв(0+) = 0 - 100 = -100 В.

Самый отвественный момент как раз возникает на этом шаге.
Надо составить характеристическое уравнение и определить его корни.

Универсальный способ такой: берут любой разрыв цепи и определяют в общем виде входное сопротивление в зависимости от jw.
Напомню: Xl = jwL, Xc = 1/jwC
Здесь в выражении будет дробь. После преобразований (я 1/jwC вынес за скобки и сократил) получаем
То есть Zвх(jw)=((R1 + jwL)*(R2jwC + 1))/(R1jwC + j^2*w^2*L*C + R2jwC)

Далее выполняем формальную замену jw на P, получаем:
Zвх(P)=((R1 + PL)*(R2PC + 1))/(R1PC + P^2*L*C + R2PC)

Характеристическое уравнение имеет вид Zвх(P) = 0, то есть наша дробь равна нулю. Дробь равна нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Вообще знаменатель мы всегда отбрасываем, правда математического доказательства этому я сейчас на вскидку и не напишу, то мы и не этим занимаемся.

Получаем такую ботву:

(R1 + PL)*(R2PC + 1) = 0

R1 + PL = 0 или R2PC + 1 = 0
Находим отсуда P1 и P2. Комплексными карнтыми корни быть никак не могут, то есть для такой схемы невозможен переходный процесс в виде затухающей синусоиды.

Для тех параметров, что я указал раньше получаем такие корни:

P1 = - R1/L
P1 = - 10/0.2 = - 50 с-1
P2 = - 1/R2C
P2 = 1/5*10^-5 = - 50000 с-1

Получаем свободный ток в виде суммы экспонент. К слову, величина, обратная корню характеристического уравнения называется постоянной времени. Она хороша тем, что физически переходной процесс длится 3-4 постоянных времени и по ней судят о длительности переходных процессов. В нашем случае переходный процесс будет длиться 0,02 с.

Токи и напряжения будут представляться в виде:

ilсв(t) = A1*e^p1*t + A2*e^p2*t

аналогично Ucсв(t).

Далее надо находить постоянные интегрирования A1 и A2.

Это наиболее трудоёмкая задача, а я спать хочу уже . Идея такая: выражение для свободного тока надо продифференцировать и получить систему алгебраических уравнений. Но прежде надо будет составить уравнения по законам Кирхгофа в дифференциальной форме и найти значения производных свободных токов и напряжений в начальный момент времени. Потом они подставляются в систему уравнений, и находятся пстоянные интегрирования.

В общем задача решена, свободные токи складываются с принужденными и получаются полные токи.

Про напряжение на катушке, то тут совлем просто: закон электромагнитной индукции:
Ul = L*dil/dt

Вот так вот и решаются самым простым образом переходные процессы...

Продолжение выложу попозже, пока разбирайтесь с началом. [/img][/url]