Блок питания + Инвертор (= ПРОБЛЕМА ?)

Здравствуйте, уважаемые электрики!

Обращаюсь к вам в надежде получить консультационную помощь в решении моей «незадачи». Итак, к делу…
Ситуация следующая: во дворе я смастерил для уличного кота утеплённый домик, но тепла там для наших зим недостаточно, поэтому хочу положить ему коврик с электронагревом. Куда и как подключить в сеть уже придумали, но, учитывая определённые нюансы, было решено подключать коврик в сеть не напрямую...
Схема (на бытовом языке) такая:
*см. прикреплённый файл*

Сделано всё это для того, чтобы при отключении электричества тепло продолжало поддерживаться (тем более, что инвертор и аккум у меня давно лежат без дела), а таймер-розетка для того, чтобы коврик имел возможность «отдыхать».

Так вот, самое главное - ПРОБЛЕМА:
Когда всё работает по данной схеме - таймер-розетка, воткнутая в инвертор, начинает очень нагреваться, и спустя 10 минут к её задней стенке пальцем не прикоснуться (дольше не держу, боюсь её спалить). Это и с ковриком, и без него так. То есть, дело не в «нагрузке».
НО… 1) Когда таймер-розетка работает просто от сети напрямую (без промежуточной цепочки), всё отлично, никакого перегрева! 2) Также, когда я вставляю её в инвертор, а инвертор подключаю к заряженному аккуму, тоже никаких проблем - ничего не греется, всё работает. Хоть час, хоть 2, хоть весь день.

Начал грешить на некорректную работу блока питания, но решил попробовать с каким-нибудь другим на 220V->12V. Нашёл дома, от оборудования, характеристики у него немного другие (Input: 100-240V ～ 600mA, 50-60Hz; Output: 12V ⎓ 2.0A). Подключил инвертор с таймером-розеткой к нему… Таймер-розетка греется, но уже раза в 3-4 меньше, спустя 10, даже 15 минут прикасаться к задней стенке возможно (не настолько горячая), но дольше всё-равно её включенной не держу на всякий случай.

Так вот, дорогие электрики, если кто-нибудь понял, в чём здесь загвоздка и как её решить так, чтобы вся цепочка работала корректно, пожалуйста, подскажите?
 Может быть, не хватает какого-то ещё промежуточного звена для решения проблемы? Или же просто что-то несовместимо друг с другом?
 Буду рад вашей проникновенности. Спасибо!